题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x-lnx(x＞ 1 2 ) x2+2x+a-1(x≤ 1 2 )

（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的零点．

答案

解（1）当x＞

1

2

时，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
当x≤

1

2

时，f（x）=x²+2x+a-1=（x+1）²+a-2，
∴f（x）在(-1，

1

2

)上是增函数
∴f（x）的递增区间是（-1，

1

2

）和（1，+∞）．
（2）当x＞

1

2

时，由（1）知f（x）在（

1

2

，1）上递减，在（1，+∞）上递增且f′（1）=0．
∴f（x）有极小值f（1）=1＞0，
此时f（x）无零点．当x≤

1

2

时，f（x）=x²+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
当△＜0，即a＞2时，f（x）无零点．
当△=0，即a=2时，f（x）有一个零点-1．
当△＞0，且f（

1

2

）≥0时，
即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1≥0

∴-

1

4

≤a＜2时f（x）有两个零点：
x=

-2+ 8-4a

2

或x=

-2- 8-4a

2

，即x=-1+

2-a

或x=-1-

2-a

当△＞0且f（

1

2

）＜0，即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1＜0

∴a＜-

1

4

时，f（x）仅有一个零点-1-

2-a