题目

题型：解答题难度：困难来源：0112 模拟题

已知函数f(x)=x，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。
（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g(x)＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程=x²-2ex+m的根的个数。

答案

解：（Ⅰ）f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g′（x）=λ+cosx≤0，∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，故λ的最大值为-1。
（Ⅱ）由题意，得
∴只需
∴（其中λ≤-1）恒成立，
令，
则，
∴，而恒成立，
∴t＜-1。
（Ⅲ）由，
令
，
当时，，∴在上为增函数；
当时，，∴在上为减函数；
当x=e时，，而
∴当，即时，方程无解；
当，即时，方程有一个根；
当，即时，方程有两个根。