题目

题型：解答题难度：一般来源：期末题

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．

答案

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）
依题意有和1是方程3ax²+2bx﹣a²=0的两根
∴解得 ，
∴f（x）=x³﹣x²﹣x．（经检验，适合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴x₁x₂=﹣＜0且 ，
∴，
∴b²=3a²（9﹣a）
∵b²≥0
∴0＜a≤9．
设p（a）=3a²（9﹣a），则p"（a）=54a﹣9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，
∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．