题目

题型：解答题难度：一般来源：月考题

已知函数f（x）= ，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R为增函数；
（3）求证：方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

答案

（1）解：函数f（x）=，的定义域为R，且f（x）==1﹣，
∴f（﹣x）+f（x）=1﹣+1﹣=2﹣（+）
=2﹣（+）=2﹣2=0，
即：f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）证明：设﹣∞＜x₁＜x₂＜+∞，
f（x₁）﹣f（x₂）=﹣=
∵﹣∞＜x₁＜x₂＜+∞，∴＞0，＞0，﹣＜0，
∴f（x）在R上是增函数．
（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，
∵g（1）=﹣0=＞0，g（3）=﹣ln3=﹣ln3＜0，
所以，方程 f（x）﹣lnx=0 至少有一根在区间（1，3）上．