题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明：

1

a

是f（x）=0的一个根
（2）试比较

1

a

与c的大小
（3）证明：-2＜b＜-1．

答案

证明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x₁，x₂满足 x1x2=

c

a

，
又f（c）=0，不妨设x₁=c∴x2=

1

a

，即

1

a

是f(x)=0的一个根．
（2）假设

1

a

＜c，又

1

a

＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得 f(

1

a

)＞0，与f(

1

a

)=0矛盾∴

1

a

≥c
∵f（x）=0的两个根不相等
∴

1

a

≠c，只有

1

a

＞c
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（

1

a

，0），
∴对称轴在x=c与x=

1

a

之间，即c＜-

b

2a

＜

1

a

，
即-2ac＞b＞-2，
从而：-2＜b＜-1．