题目

题型：解答题难度：一般来源：武汉模拟

已知函数和函数f（x）=ax³-x²+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

答案

（1）函数f（x）=ax³-x²+1的导数为：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=

2

3a

＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，

2

3a

）
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（

2

3a

，+∞）上为增函数，
在（0，

2

3a

）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解
∴f（0）＞0且f(

2

3a

) ＜0，解之得a∈(0，

2 3

9

)
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-

2 3

9

，0)
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-

2 3

9

，0)∪(0，

2 3

9

)