题目
题型:解答题难度:一般来源:陕西
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明:曲线y=f(x)与曲线y=
1 |
2 |
(Ⅲ) 设a<b,比较f(
a+b |
2 |
f(b)-f(a) |
b-a |
答案
∵g′(x)=
1 |
x |
∴f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程为y-0=1×(x-1),即y=x-1;
(Ⅱ)证明:令h(x)=f(x)-(
1 |
2 |
1 |
2 |
则h′(x)=ex-x-1,
h′′(x)=ex-1,
当x>0时,h′′(x)>0,h′(x)单调递增;当x<0时,h′′(x)<0,h′(x)单调递减,
故h′(x)在x=0取得极小值,即最小值,
∴h′(x)≥h′(0)=0,
∴函数y=h(x)在R上单调递增,最多有一个零点,
而x=0时,满足h(0)=0,是h(x)的一个零点.
所以曲线y=f(x) 与曲线y=
1 |
2 |
(Ⅲ)
f(a)+f(b) |
2 |
f(b)-f(a) |
b-a |
(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b) |
2(b-a) |
=
(b-a+2)ea+(b-a-2)eb |
2(b-a) |
=
(b-a+2)+(b-a-2)eb-a |
2(b-a) |
令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x-1)ex.
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,∴在(0,+∞)g(x)>0.
∵当x>0时,g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,
∴
(b-a+2)+(b-a-2)eb-a |
2(b-a) |
即当a<b时,f(
a+b |
2 |
f(b)-f(a) |
b-a |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex,x∈R.(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上的点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
π |
4 |
π |
2 |
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式
(2)是否存在x0∈(
π |
6 |
π |
4 |
(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点.
A.x1>-1 | B.x2<0 | C.x2>0 | D.x3>2 |
(1)将函数y=f(x)图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ(x)的图象,写出y=φ(x)的解析式及值域;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围.
A.x1>-1 | B.x2<0 | C.0<x2<1 | D.x3>2 |
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