题目

题型：单选题难度：简单来源：惠州模拟

设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是（　　）

A．x1＞-1

B．x2＜0

C．0＜x2＜1

D．x3＞2

答案

∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±

2 3

3

．
∵当x＜-

2 3

3

时，f′（x）＞0；
在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

2 3

3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-

2 3

3

）上是增函数，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是减函数，在（

2 3

3

，+∞）上是增函数．
故f（-

2 3

3

）是极大值，f（

2 3

3

）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜-

2 3

3

，-

2 3

3

＜x₂

2 3

3

，x₃＞

2 3

3

．
根据f（0）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，得

2 3

3

＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故选C．