题目

题型：解答题难度：一般来源：东至县一模

设函数f（x）=a²x²（a＞0）．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵函数f（x）=a²x²（a＞0），将函数y=f（x）图象向右平移一个单位可得到函数y=φ（x）的图象，
∴y=φ（x）的解析式为：y=φ（x）=a²（x-1）²，由完全平方非负的特点可知其值域为：[0，+∞）
（2）解法一：不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个⇔（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三个整数解，
故1-a²＜0．令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0）
所以函数h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一个零点在区间（0，1），另一个零点一定在区间[-3，-2）
故

h(-2)＞0 h(-3)≤0

解得

4

3

≤a≤

3

2

解法二：（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a²＜0，即a＞1
（1-a²）x²-2x+1=[（1-a）x-1][（1+a）-1]＞0
所以

1

1-a

＜x＜

1

1+a

，又因为0＜

1

1+a

＜1
所以-3≤

1

1-a

＜-2，解得

4

3

≤a≤

3

2