题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），设函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．

答案

（1）函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，即 kπ-

3π

8

≤x≤

π

8

+kπ   k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-

3

8

π+kπ，

π

8

+kπ] (k∈Z)．
（3）y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[

3

2

，

1

2

+

2

]，
函数g（x）=f（x）-k=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，
当k＜

3

2

或k＞

1

2

+

2

时，零点为0个；
当k∈[

3

2

，

1

2

+

2

)时函数有两个零点，
当k=

1

2

+

2

时，函数有一个零点；