已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax2+（a-b）x-c．
（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．
（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为m，n，求|m-n|的取值范围．
（3）是否存在这样实数的a、b、c及t，使得函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]．若存在，求出t的值及函数y=f（x）的解析式；若不存在，说明理由． |
（1）由题意知，∵a+b+c=0，且-＞1，∴a＜0且＞1，∴ac＞0．
对于函数f（x）=ax2+（a-b）x-c．有△=（a-b）2+4ac＞0，∴f（x）必有2个不同零点．
（2）|m-n|2=(m+n)2-4mn===()2+8•+4
由不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，ax2+bx+c=0的两个解分别为1和t（t＞1），
由韦达定理有=t，∴|m-n|2=t2+8t+4=（t+4）2-12，t∈（1，+∞），∴|m-n|2＞52-12=13，∴|m-n| ＞ ，
即|m-n|的取值范围为（，+∞）．
（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，∴f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-)x-]=a[x2+(1+)x-]
=a[x2+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的对称轴为x=-1-＜-，∴f（x）在[-2，1]的最小值为f（1）=3a=-6，则a=-2．
要使函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f（x）max=12即可．
①若-1-≤-2 ， 即t≥2时，f（x）max=f（-2）=123，则有6t=12，∴t=24．
此时，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x2-8x+4．
②若-1-＞-2 ， ∴1＜t＜2，此时，f(x)max=f(-1-)==12，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去 ）．
综上所述：当a=-2，b=6，c=-4，t=2时，函数y=f（x）在[-2，1]上的值域为[-6，12]，此时函数的表达式为f（x）=-2x2-8x+4． |
核心考点
试题【已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）=ax2+（a-b）x-c．（1）求证：函数y=f（x）必有两个不同的零点．（2）若函数y=f（】；主要考察你对
函数的零点等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 设方程x3=7-2x的解为x0，则关于x的不等式x-2＜x0的最大整数解为______． |
| 设函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数为（ ） |
| 定义运算：a*b=例如1*3=1，则f(x)=(2-x-)*(2x-)的零点是（ ） |
| 已知x1、x2 是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22 取最小值时，实数m的值是（ ） |
已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=+++…+，求证：e+++…+＞n++λ(n)（n≥2，n∈N*）． |
