题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

m

=(sinx，-1)，向量

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函数f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求实数t的取值范围．

答案

（I）∵

m

=(sinx，-1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，-

1

2

），可得
f(x)=(

m

+

n

)•

m

=sinx（sinx+

3

cosx）+

1

2

=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

∵sin²x=

1

2

（1-cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+1
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1的值域为[

3

2

，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴f（x）=t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得实数t的取值范围为[

3

2

，2]．