题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设x₁，x₂为函数f(x)=-

2

4

+(

a

+ 

b

)• 

b

的两个零点，求|x₁-x₂|的最小值．

答案

（1）由

a

∥

b

得：

3

2

cosx+sinx=0，
若cosx=0，则sinx=±1，不合题意．
则tanx=-

3

2

．
因此cos2x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

tan2x+1

=

16

13

．

（2）f(x)=-

2

4

+(

a

+

b

)•

b

=(sinx+cosx，

1

2

)•(cosx，-1)-

2

4

=(sinx+cosx)cosx-

1

2

-

2

4

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x-

2

4

=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

2

4

．
依题得sin(2x+

π

4

)=

1

2

，
解得x=k1π-

π

24

或x=k2π+

7π

24

，k₁，k₂∈Z．
又|x₁-x₂|=|k2π+

7π

24

-k1π+

π

24

|≥

π

3

，
所以|x₁-x₂|的最小值为

π

3

．