题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a、b、c∈R，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=3取得极值
（1）求a、b的值；
（2）若方程f（x）=0有3个不等实根，求c的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c
∴f"（x）=3x²+2ax+b
∵f（x）在x=1，x=3处取得极值
∴f"（1）=3+2a+b=0．f"（3）=27+6a+b=0
∴a=-6，b=9…（6分）
（2）∵f（x）=x³-6x²+9x+c，
∴f"（x）=3x³-12x²+9=3（x-1）（x-3）
∴x∈（-∞，1）时，f"（x）＞0，x∈（1，3）时，f"（x）＜0，x∈（3，+∞）时，f"（x）＞0，
∴f（x）极大值为f（1）=4+c，f（x）极小值为f（3）=c
∴方程f（x）=0有3个不等实根∴函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点∴4+c＞0＞c
∴-4＜c＜0…（12分）