题目

题型：解答题难度：一般来源：天津模拟

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（3）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

(t-1)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

答案

（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，则f（x）在[-2，t]上单调递增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，则f（x）在[-2，0]上单调递增，在[0，t]上单调递减
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，则f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
   综上，f（t）＞f（-2）．
（3）证：∵

f′(x0)

ex0

=x

20

-x0，∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即为x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]（1＜t＜4）上总有两个不同的解
因为g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，