题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(12分)已知函数f(x)＝ (a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

答案

f(x)＝，f[f(－4)]＝.

解析

本试题主要是考查了函数的 解析式的求解和运用。先分析f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，进而得到a的值，得到解析式，并求解函数值。
解：∵f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：
a＝，从而f(x)＝＝，
∴f(－4)＝＝4，f(4)＝＝，即f[f(－4)]＝.