题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏高考真题

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分的所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿直线折起，使A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正如形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两端点，设AE=FB=x(cm)，
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm²)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm³)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

答案

解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
由已知得，
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)²+1800，
所以当x=15时，S取得最大值．
(2) V=a²h=（-x³+30x²），V′=，
由V′=0得x=0（舍）或x=20，
当x∈(0，20)时，V′＞0；
当x∈(20，30)时，V′＜0；
所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值，
此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。