题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若y=sin²x+2pcosx+q有最大值9和最小值3，求实数p，q的值．

答案

y=sin²x+2pcosx+q=-cos²x+2pcosx+q+1…（2分）
令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，y=-（t-p）²+p²+q+1的对称轴为t=p…（3分）
①当p＜-1时，函数y在t∈[-1，1]为减函数y_max=y|_t=-1=-2p+q=9，y_min=y|_t=1=2p+q=3，解得：p=-

3

2

，q=6…（5分）
②当p＞1时，函数y在t∈[-1，1]为增函数y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，y_max=y|_t=1=2p+q=9，p=

3

2

，q=6…（7分）
③当-1≤p≤1时，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9
（i）当-1≤p≤0时，y_min=y|_t=1=2p+q=3
解得：p=1±

6

，与-1≤p≤0矛盾；                    …（9分）
（ii）当0＜p≤1时，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3
解得：p=±

6

-1，与0＜p≤1矛盾．…（11分）
综合上述：p=-

3

2

，q=6或p=

3

2

，q=6．…（12分）