题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-

x2

2

+x，x∈[m，n]（m＜n），问是否存在实数m，n，使得函数f（x）的值域为[2m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

答案

假设存在实数m，n满足题意，
由题意得f(x)=-

1

2

(x2-2x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
∵函数f（x）的值域为[2m，n]，∴2m＜n≤-

1

2

，
则区间[m，n]在对称轴x=1的左边，
∴函数f（x）在[m，n]单调递增，∴

f(m)=2m f(n)=n

，
即

- m2 2 +m=2m - n2 2 +n=n

，解得

m=-2 n=0

，
故存在m=-2，n=0满足题意．