题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（Ⅱ）已知函数h（x）=lg

a

x2+1

具有性质M，求a的取值范围；
（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=

k

x

（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．

答案

（Ⅰ）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2^x₀+1=2^x₀+2得：…（2分）
即2^x₀=2，解得x₀=1，
∴函数f（x）=2^x具有性质M．…（4分）
（Ⅱ）h（x）的定义域为R，且可得a＞0，
∵h（x）具有性质M，
∴存在x₀，使得h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入得lg

a

x 20 +2

=lg

a

x0+1

+lg

a

2

化为2（

x

20

+1）=a(x0+1)2+a
整理得：（a-2）

x

20

+2ax₀+2a-2=0有实根…（5分）
①若a=2，得x₀=-

1

2

，满足题意
②若a≠2，则要使（a-2）

x

20

+2ax₀+2a-2=0有实根有实根，只需满足△≥0，
即a²-6a+4≤0，解得a∈[3-

5

，3+

5

]
∴a∈[3-

5

，2）∪（2，3+

5

]…（8分）
综合①②，可得a∈[3-

5

，3+

5

]…（9分）
（Ⅲ）函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
当b≠0时，关于x的方程（*）无解
∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；
②若f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得x--

a+b

2a

．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）一定具备性质M．
③若f（x）=

k

x

（k≠0），则方程（*）可化为x²+x+1无解
∴f（x）=

k

x

（k≠0）不具备性质M；
④若f（x）=a^x，则方程（*）可化为a^x+1=a^x+a，化简得（a-1）a^x=a即a^x=

a

a-1

当0＜a＜1时，方程（*）无解
∴f（x）=

k

x

（k≠0），不恒具备性质M；
⑤若f（x）=log_ax，则方程（*）可化为log_a（x+1）=log_ax，化简得x+1=x
显然方程无解；
∴f（x）=

k

x

（k≠0），不具备性质M；
综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）