当前位置:高中试题 > 数学试题 > 二次函数的图象和性质 > 已知f(x)=mx2+3(m-4)x-9(m∈R).(1)试判断函数f(x)的零点的个数;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求d=|x1-x2|的最小值...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=mx2+3(m-4)x-9(m∈R).
(1)试判断函数f(x)的零点的个数;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求d=|x1-x2|的最小值;
(3)若m=1,且不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)当m=0时,f(x)=-12x-9,函数的零点为x=-
3
4
,即函数只有一个零点
当m≠0时,△=9(m-4)2+36m=(m-2)2+12>0
∴函数f(x)的零点的个数为2
故当m=0时,函数f(x)的零点的个数为1;当m≠0时,函数f(x)的零点的个数为2
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,则m≠0,
x1+x2=
12-3m
m
,x1•x2=
-9
m

∴d=|x1-x2|=


(x1+x22-4x1x2
=


(
12-3m
m
2
+
36
m
=12


(
1
m
-
1
8
2
+
3
64
≥12×


3
64
=
3


3
2
  (m=8时取等号)
∴d=|x1-x2|的最小值为
3


3
2

(3)若m=1,则f(x)=x2-9x-9
∴不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,即x2-9x-9>a对x∈[0,2]恒成立
只需f(x)在[0,2]上的最小值大于a
∵f(x)=x2-9x-9=(x-
9
2
2-
117
4
≥f(2)=-23
∴a<-23
核心考点
试题【已知f(x)=mx2+3(m-4)x-9(m∈R).(1)试判断函数f(x)的零点的个数;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求d=|x1-x2|的最小值】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
若实数x,y满足4x2+y2=1,则u=2x2+y2+x有(  )
A.最小值1,无最大值B.最小值0,最大值1
C.最大值
9
8
,无最小值
D.最小值0,最大值
9
8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成:①职工工资固定支出12500元;②原材料费每件40元;③电力与机器保养等费用为每件0.05x元,其中x是该厂生产这种产品的总件数.
(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;
(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件,且产品能全部销售.根据市场调查:每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系:Q(x)=170-0.05x,试问生产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)
题型:解答题难度:一般| 查看答案
点P(0,1)在函数y=x2+ax+a的图象上,则该函数图象的对称轴方程是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,f(x)<0;当x∈(-2,6)时,f(x)>0.
①求a,b的值;
②设F(x)=-
k
4
f(x)+2kx+13k-2,则当k取何值时,函数F(x)的值恒为负数?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x2+bx+2,x∈R,若方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有两个解x1,x2,则b的取值范围为(  )
A.-
5
2
<b<-1
B.-
7
2
<b≤-1
C.-
7
2
<b<-1
D.-
5
2
<b≤-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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