题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0．求：
（1）函数f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在[-1，3]上的值域．

答案

（1）由题意得

c=3 1-b+c=0

解得 a=4，c=3，因此f（x）的解析表达式为 f（x）=x²-4x+3；
（2）因为函数f（x）=x²-4x+3的定义域是[-1，3]，由函数f（x）求导得：f^′（x）=2x-4，令2x-4=0得：x=2，
当x∈[-1，2]，时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈[2，3]，时，f^′（x）＞0，函数在此区间上单调递增；
所以x=2是函数在定义域上的极小值，也应为最小值，
最大值只能在区间的端点处取得，
而f（2）=-1，f（-1）=8，f（3）=0，
∴最大值为f（-1）=8，
所以函数在定义域上的值域为：[-1，8]．