题目

题型：填空题难度：一般来源：宜宾一模

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是______．

答案

任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）是[-1，1]上的增函数，
要使f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²+2am+1，即1≤m²+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m²，
只须

g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0

，解得m≤-2或m≥2或m=0，
故答案为m≤-2或m≥2或m=0．