题目
题型:解答题难度:一般来源:北京
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数g(x)=
|
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.
答案
即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)函数g(x)满足题设条件.
验证如下:g(-1)=0=g(1).
对任意的u,v∈[-1,1],
当u,v∈[0,1]时,有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;
当u,v∈[-1,0]时,同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;
当u•v<0,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],有|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|.
所以,函数g(x)满足题设条件.
(Ⅲ)这样满足的函数不存在.
理由如下:假设存在函数f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0,得|f(1)-f(-1)|=0,①
由于对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.
所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2.②
①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.
核心考点
试题【设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得
|
A.f(x)-f(-x)>0 (x∈R) | B.f(x)-f(-x)≤0 (x∈R) |
C.f(x)f(-x)≤0 (x∈R) | D.f(x)f(-x)>0 (x∈R) |
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
A.f1(x)=x2 | B.f2(x)=2x | C.f3(x)=log2x | D.f4(x)=sinx |
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