题目

题型：解答题难度：一般来源：天津

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=-

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时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
当a=-

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时，f"（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f"（x）=0，解得x₁=0，x2=

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，x₃=2．
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：



所以f（x）在(0，

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2

)，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），(

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，2)内是减函数．
（Ⅱ）f"（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解些不等式，得-

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≤a≤

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．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是[-

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，

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]．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，从而4x²+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f"（x）＜0；当x＞0时，f"（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．