题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a为实数,f(x)=a-
2 |
2x+1 |
(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)当f(x)是奇函数时,若方程f-1(x)=log2(x+t)总有实数根,求实数t的取值范围.
答案
2 |
2x+1 |
∴f(x)的导数为f"(x)=-
-2×2xln2 |
(2x+1)2 |
2x+1ln2 |
(2x+1)2 |
∴对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=a-
2 |
20+1 |
∴f(x)=1-
2 |
2x+1 |
1-2x |
2x+1 |
令y=
1-2x |
2x+1 |
1+y |
1-y |
1+y |
1-y |
∴函数f(x)的反函数为:f-1(x)=log2
1+x |
1-x |
由log2
1+x |
1-x |
1+x |
1-x |
2 |
1-x |
∴t=(1-x)+
2 |
1-x |
2 |
当且仅当1-x=
2 |
1-x |
2 |
所以,t的取值范围是[2
2 |
核心考点
试题【本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
a•2x+a2-2 |
2x-1 |
(1)若f(x)是奇函数,求常数a的值;
(2)当f(x)为奇函数时,设f(x)的反函数为f-1(x),且函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称,求y=g(x)的解析式并求其值域;
(3)对于(2)中的函数y=g(x),不等式g2(x)+2g(x)+t•g(x)>-2恒成立,求实数t的取值范围.
(1)若a1+a2+a3+…+a9=34,求r的值;
(2)求T12的值,并求证当n∈N*时,T12n=-4n;
(3)已知r>0,且存在正整数m,使得在T12m+1,T12m+2,…,T12m+12中有4项为100.求r的值,并指出哪4项为100.
(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
(2)设常数b<2
2 |
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
(I)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(II)对(I)的函数y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式;
(III)定义在R上的任意凸函数y=f(x),当q,p,m,n∈N*且p<m<n<q,p+q=m+n,证明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
x+2 |
x-3 |
(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
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