题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(2)的值.
(2)是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.
答案
(2)先证明f(x)在(1,+∞)是增函数.
任取x1>1,x2>1,且x2>x1
则有f(x1)+f(
x2-1 |
x1-1 |
x2-1 |
x1-1 |
x2-1 |
x1-1 |
而
x2-1 |
x1-1 |
所以f(x1)<f(x2),即f(x)在(1,+∞)是增函数.
又因为f(x)是奇函数,
∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数.
令x=y=2 有f(5)=2;
令x=2,y=4 有f(9)=3.
又f(8+1)+f(
1 |
8 |
1 |
8 |
∴f(-
9 |
8 |
则f(x)<3的解集为(-∞,-
9 |
8 |
于是问题等价于是否存在实数a,使cos2θ+asinθ<-
9 |
8 |
令t=sinθ,则t∈(0,1]
对于cos2θ+asinθ<-
9 |
8 |
17 |
8 |
即a<t-
17 |
8t |
而t→0时,t-
17 |
8t |
9 |
8 |
1<cos2θ+asinθ<9对任意的θ∈(0,π)恒成立等价于
|
t2-at+8>0,t∈(0,1]⇔a<t+
8 |
t |
易得a<9.而t2-at<0知a>t所以a>1.
综合以上有当1<a<9使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立
核心考点
试题【已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
OA |
OB |
OM |
ON |
OA |
OB |
MN |
(1)证明:0≤λ≤1(2);
(3)请你给出一个标准K的范围,使得[0,1]上的函数y=x2(4)与y=x3(5)中有且只有一个可在标准K下线性近似.
(Ⅰ)求b,c的值.
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值.
-2x+n |
2x+1+m |
(1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明);
(2)解不等式f(x+2)+f(2x-1)<0.
(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论;
(3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(1,3)(不要过程)
x+1 |
x-1 |
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln
x+1 |
x-1 |
(Ⅱ)对于x∈[2,6]f(x)=ln
x+1 |
x-1 |
m |
(x-1)(7-x) |
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