题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
ln(1+x) |
x |
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;
(Ⅲ)求证:(1+
1 |
n |
答案
ln(1+x) |
x |
∴f′(x)=
| ||
x2 |
设g(x)=
x |
1+x |
∴g′(x)=
1+x-x |
(1+x)2 |
1 |
1+x |
1-(1+x) |
(1+x)2 |
-x |
(1+x)2 |
∴y=g(x)在[0,+∞)上为减函数.
∴g(x)=
x |
1+x |
∴f′(x)=
| ||
x2 |
∴函数f(x)=
ln(1+x) |
x |
(2)ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,⇔ln(1+x)-ax<0在(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=ln(1+x)-ax,则h(0)=0,
∴h′(x)=
1 |
1+x |
若a≥1,则x∈[0,+∞)时,h′(x)=
1 |
1+x |
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,+∞)上为减函数
∴ln(1+x)-ax<h(0)=0在(0,+∞)上恒成立,
∴ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
若a≤0显然不满足条件,
若0<a<1,则h′(x)=
1 |
1+x |
1 |
a |
∴x∈[0,
1 |
a |
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,
1 |
a |
当x∈[0,
1 |
a |
不能使ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
∴a≥1
(3)由(2)可知
ln(1+x) |
x |
∴ln(1+x)
1 |
x |
1 |
x |
取
1 |
x |
1 |
n |
核心考点
试题【设f(x)=ln(1+x)x(x>0)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值.
(2)若f(x),g(x)在区间[1,3]上单调性相同,求实数α的取值范围.
(3)求证:对任意的α,都有f(x)>
x |
ex |
2 |
e |
π |
4 |
3 |
(1)求ω及函数f(x)的值域;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π |
4 |
π |
2 |
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