已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．（I）求函数f（x）的导函数f′（x - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求实数a的取值范围．

答案

（I）f′(x)=x-3+

a-1

=x+

a-1

-3，其中x＞0．
因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+

a-1

-3≥2

a-1

-3，
当且仅当x=

a-1

时取等号，其最小值为2

a-1

-3．…（4分）
（II）当a=3时，h(x)=

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

-3=

(x-1)(x-2)

．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

核心考点

试题【已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．（I）求函数f（x）的导函数f′（x】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

（0，1）

（1，2）

（2，+∞）

h′（x）

h（x）

递增

递减

2ln2-4

递增

已知f（x）=ax-lnx＞0对一切x＞0恒成立，则实数a的取值范是______．

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²+2．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在x∈[

-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

+m成立，求实数m的取值范围．

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

对任意实数x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是______．

当x∈R时，一元二次不等式kx²-kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是______．