题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f（x）是偶函数；③x∈[-1，0]时，f(x)=

1

e2x

-

a

ex

，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数g(x)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)[e2x-f(x)]，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

答案

（Ⅰ）任取x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，f(-x)=

1

e-2x

-

a

e-x

=e2x-aex，
又f（x）是偶函数，故x∈[0，1]时，f（x）=f（-x）=e^2x-ae^x．
由f（x）是定义域为[-1，1]的偶函数可知，f（x）在x∈[0，1]的最大值即可为f（x）的最大值．
当x∈[0，1]时，令t=ex∈[1，e]，f(x)=h(t)=(t-

a

2

)2-

a2

4

a

2

≤

e+1

2

，即a≤e+1时，fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae；

a

2

＞

e+1

2

，即a＞e+1时，fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a；
综上可知：
a≤e+1时，f_max（x）=f（1）=e²-ae；a＞e+1时，f_max（x）=f（0）=1-a．
（Ⅱ）g(x)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)[e2x-f(x)]
=(

x2

a

+x-2-

3

a

)(e2x-e2x+aex)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)•aex=(x2+ax-2a-3)ex
要x∈[0，1]时，函数g（x）的图象恒在直线y=e上方，
即x∈[0，1]时，g_min（x）＞e成立，
g′（x）f"（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令g′（x）=0，解得x₁=-a-3，x₂=1
①当-a-3≤0，即a≥-3且a≠0时，可得x∈[0，1]时g′（x）≤0，故g（x）在区间[0，1]单调递减．
此时g_min（x）=g（1）=（-2-a）e＞e⇒a＜-3，与a≥-3且a≠0矛盾．
②当0＜-a-3＜1，即-4＜a＜-3时，可得x∈[0，-a-3]时，g′（x）≥0，x∈[-a-3，1]时g′（x）≤0，可知f（x）在区间[0，-a-3]单调递增．在区间[-a-3，1]单调递减．
此时g_min（x）＞e⇔g（0）＞e，且g（1）＞e，
又g(0)=-2a-3＞e⇒a＜

-e-3

2

，g(1)＞e⇒a＜-3
故-4＜a＜-3时可满足题意；
③-a-3≥1，即a≤-4时，可得x∈[0，1]时g′（x）≥0，可知g（x）在区间[0，1]单调递增．
此时gmin(x)=g(0)=-2a-3＞e⇒a＜

-e-3

2

，又a≤-4．故a≤-4时可满足题意.
综上可知：a＜-3时，g（x）的图象恒在直线y=e上方．