题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);
(2)讨论关于x的方程:lng(x)=g(x)•(x2-2ex+m)(m∈R)的根的个数;
(3)设n∈N*,证明:(
1 |
n |
2 |
n |
3 |
n |
n |
n |
e |
e-1 |
答案
令h"(x)>0⇒ex-1>0⇒x>0时f"(x)>0;x<0时,f"(x)<0.∴f(x)min=f(0)=0
∴h(x)≥h(0)=0即ex≥x+1.
(2)∵g(x)是R上的奇函数
∴g(0)=0∴g(0)=ln(e0+a)=0
∴ln(1+a)=0∴a=0故g(x)=lnex=x.
故讨论方程lnx=x•(x2-2ex+m)在x>0的根的个数.
即
lnx |
x |
令u(x)=
lnx |
x |
注意x>0,方程根的个数即交点个数.
对u(x)=
lnx |
x |
| ||
x2 |
1-lnx |
x2 |
令u"(x)=0,得x=e,
当x>e时,u"(x)<0;当0<x<e时,u"(x)>0.
∴u(x)极大=u(e)=
1 |
e |
当x→0+时,u(x)=
lnx |
x |
当x→+∞时,
lim |
x→+∞ |
lim |
x→+∞ |
lnx |
x |
①当m-e2>
1 |
e |
1 |
e |
②当m-e2=
1 |
e |
1 |
e |
③当m-e2<
1 |
e |
1 |
e |
(3)由(1)知1+x≤ex(x∈R),
令x=
-i |
n |
∴1-
i |
n |
i |
n |
i |
n |
i |
n |
∴(
1 |
n |
2 |
n |
n |
n |
n-1 |
n |
n-2 |
n |
1 |
n |
1-e-(n-1)-1 |
1-e-1 |
1-e-n | ||
1-
|
1-
| ||
1-
|
1 | ||
1-
|
e |
e-1 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-1 | B.0 | C.1 | D.4 |
1 |
2 |
(1)求f(1)的值;
(2)求f(-1)的取值范围.
1 |
2 |
(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.
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