题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在实数R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．

答案

（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=）=-4（-x）²-8x-3=-4x²-8x-3．
又∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=）=-4x²-8x-3．
∴f（x）=

-4x2+8x-3    (x≥0) -4x2-8x-3     (x＜0)

（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3，图象为对称轴是x=1，开口向下的抛物线，当x=1时f（x）有最大值为1
当x＜0时，f（x）=-4x²-8x-3，图象为对称轴是x=-1，开口向下的抛物线，当x=-1时f（x）有最大值为1
∴f（x）的最大值是1．
函数单调增区间为（-∞，-1]，和[0，1]，单调减区间为[-1，0]，和[1，+∞）