题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
2x-1 |
a+2x+1 |
(1)求a的值;
(2)求证:f(x)在R上是增函数;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求实数m的取值范围.
答案
∴f(1)+f(-1)=0,可得
1 |
a+4 |
-
| ||
a+1 |
检验:a=2时,f(x)=
2x-1 |
2+2x+1 |
∴f(-x)=
2-x-1 |
2+2-x+1 |
2x(2-x-1) |
2x(2+2-x+1) |
1-2x |
2x+1+2 |
∴f(x)+f(-x)=0对x∈R恒成立,即f(x)是奇函数.-----------(5分)
(2)证明:令t=2x,则y=
t-1 |
2+2t |
1 |
2 |
t-1 |
t+1 |
1 |
2 |
2 |
t+1 |
1 |
2 |
1 |
t+1 |
设x1∈R,x2∈R且x1<x2
∵t=2x在R上是增函数,∴0<t1<t2
当0<t1<t2时,y1-y2=
1 |
2 |
1 |
t1+1 |
1 |
2 |
1 |
t2+1 |
1 |
t2+1 |
1 |
t1+1 |
t1-t2 |
(t1+1)(t2+1) |
∵0<t1<t2
∴t1-t2<0,t1+1>0,t2+1>0
∴y1<y2,可得f(x)在R上是增函数---------------(10分)
(3)∵f(x)是奇函数
∴不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0等价于f(mt2+1)>f(mt-1)
∵f(x)在R上是增函数
∴对任意的t∈R,不原不等式恒成立,即mt2+1>mt-1对任意的t∈R恒成立,
化简整理得:mt2-mt+2>0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时,不等式即为2>0恒成立,符合题意;
2°m≠0时,有
|
综上所述,可得实数m的取值范围为0≤m<8-------------(16分)
核心考点
试题【已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在R上是增函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2+1 |
(3x+2)(x-a) |
A.(1,+∞) | B.(-∞,-1) | ||||
C.(-∞,-
| D.(-∞,-
|
-2x+b |
2x+1+a |
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)解关于m的不等式f(m)+f(m-1)>f(0).
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