题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
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(1)试判断f(x)=x2是否是其定义域上的β函数?
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,求证:f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)设f(x)是定义在集合D上的函数,若对任意实数α∈[0,1]以及集合D中的任意两数x1,x2恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f(x)是定义在D上的α-β函数.已知f(x)是定义在R上的α-β函数,m是给定的正整数,设an=f(n),n=1,2,3…m且a0=0,am=2m,记∫=a1+a2+a3+…+am,对任意满足条件的函数f(x),求∫的最大值.
答案
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∴对定义域中的任意两数x1,x2恒有f(
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∴f(x)=x2是其定义域上的β函数;
(2)证明:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∴x1=x2=0时,f(
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∴f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n |
m |
∵f(x)是R上的α-β函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n |
m |
那么∫=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可知f(x)=2x是α-β函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时∫=m2+m.
综上所述,∫的最大值为m2+m.
核心考点
试题【设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(14x1+34x2)<14f(x1)+34f(x2)成立,则f(x)是定义在D上的β函】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
b•2x+1 |
2x+1+a |
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解关于t不等式f(k•t2-t)+f(1-k•t)<0.
f(x) |
x |
4x+a |
2x |
1-2sinx |
1+2sinx |
(1)求函数y=f(x)的定义域和值域.
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性.
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