题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函数h（x）=f（x）-

1

2

g（x）的最值；
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求实数k的取值组成的集合．

答案

（1）h(x)=lnx-

1

2

(x2-1)，(x＞0)
求导函数可得h′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，(x＞0)，所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
所以h（x）的最大值为h（1）=0．…．（3分）
（2）令函数F（x）=lnx-k（x²-1）得F′(x)=

1

x

-2kx=

1-2kx2

x

当k≤0时，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）递增，
故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．…．（5分）
当k＞0时，当x∈(0，

1 2k

)时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；
当x∈(

1 2k

，+∞)时，F′（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．
所以F(x)≤F(

1 2k

)=ln(

1 2k )

-

1

2

+k；即 F（x）的最大值F(

1 2k

)≤0…．（8分）
令t=

1 2k

，则k=

1

2t2

，(t＞0)．
令函数H(t)=lnt+

1

2t2

-

1

2

，H/(t)=

1

t

-

1

t3

=

t2-1

t3

所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；
所以函数H（t）≥H（1）=0，
从而F(

1 2k

)=H(t)≥0，∴F(

1 2k

)=H(t)=0…（11分）
就必须当t=

1 2k

=1，即k=

1

2

时成立．
综上k∈{

1

2

}．…．（12分）