题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f"（x）是函数y=f（x）的导数，f""是f"（x）的导数，若方程f""（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

对称中心为______；
（2）计算f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=______．

答案

（1）依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
又 f（

1

2

）=1，
∴函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（

1

2

，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
设S=f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)，
又S=f（

2010

2011

）+f（

2009

2011

）+f（

2008

2011

）+f（

2007

2011

）+…+f（

1

2011

），
所以2S=[f（

1

2011

）+f（

2010

2011

）]+…+[f（

2010

2011

）+f（

1

2011

）]=2×2010，
所以S=2010，即f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=2010．
故答案为：（1）（

1

2

，1）；（2）2010．