题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1-

2

x

，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．

答案

（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+

2

x

，又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（x）=-1-

2

x

∴f（x）=

1- 2 x ，   x＞0 -1- 2 x ，  x＜0

（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
证明：任取0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

x1

-1+

2

x2

=

2

x2

-

2

x1

=

2(x1-x2)

x2x1

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．