题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x1)-f(x2) |
1+f(x1)f(x2) |
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由.
答案
π |
2 |
π |
4 |
f(a)=tana=1;又由两角差的正切公式知,f(x1-x2) =
f(x1)-f(x2) |
1+f(x1)f(x2) |
(2)f(x)是D上的奇函数;
证明如下:f(0)=0,取x1=0,x2=x,由f(x1-x2) =
f(x1)-f(x2) |
1+f(x1)f(x2) |
得f(-x)=-f(x),所以f(x)是D上的奇函数;…(4分)
(3)考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a,可猜测4a是f(x)的一个周期.
证明:由已知f(x-a)=
f(x)-f(a) |
1+f(x)f(a) |
f(x)-1 |
1+f(x) |
f(x-a)-1 |
1+f(x-a) |
=[
f(x)-1 |
1+f(x) |
f(x)-1 |
1+f(x) |
1 |
f(x) |
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-
1 |
f(x-2a) |
所以f(x)是周期函数,4a是f(x)的一个周期.…(7分)
核心考点
试题【设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2),(1)写出f】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)函数f(x)=x2是否为集合M0的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=ax是集合M1的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈Mk,求k的取值范围.
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