题目
题型:解答题难度:一般来源:南汇区二模
(1)求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点;
(2)函数f(x)=ax3+(b-2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥-x2+4x-2恒成立?
(3)试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性.
答案
∴(6m+6)x2+(2m3+6m2-2n)=0由
|
|
故函数f(x)图象的一个对称点为(-1,2).
(2)①因为函数是奇函数,则由f(-x)=-f(x)得:-ax3+(b-2)x2=-ax3-(b-2)x2,解得a∈R,b=2;
②当a∈R,b=2时f(x)是奇函数.不存在常数a使f(x)≥-x2+4x-2x∈[-1,1]时恒成立.
依题,此时f(x)=ax3令g(x)=-x2+4x-2x∈[-1,1]∴g(x)∈[-7,1]若a=0,f(x)=0,不合题;
若a>0,f(x)=ax3此时为单调增函数,f(x)min=-a.
若存在a合题,则-a≥1,与a>0矛盾.
若a<0,f(x)=ax3此时为单调减函数,
f(x)min=a若存在a合题,则a≥1,与a<0矛盾.
综上可知,符合条件的a不存在.
(3)函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f(m+x)=f(m-x)
①a=b=0时,f(x)=0(x∈R),其图象关于x轴上任意一点成中心对称;关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形;
②a=0,b≠0时,f(x)=bx2(x∈R),其图象关于y轴对称图形;
③a≠0,b=0时,f(x)=ax3,其图象关于原点中心对称;
④a≠0,b≠0时,f(x)=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形.
设A(m,n)为函数f(x)=ax3+bx2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n对于x∈R恒成立.即a(m-x)3+b(m-x)2+a(m+x)3+b(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,(3am+b)x2+(am3+bm2-n)=0
由,由
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故函数f(x)图象的一个对称点为(-
b |
3a |
2b3 |
27a2 |
核心考点
试题【对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R.(1)求函数f(x)=x3+】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
(1)若f(x)=f1(x)对所有实数x都成立,求a的取值范围;
(2)设t∈R,t>0,且f(0)=f(t).设函数f(x)在区间[0,t]上的单调递增区间的长度之和为d(闭区间[m,n]的长度定义为n-m),求
d |
t |
(3)设g(x)=x2-2bx+3.当a=2时,若对任意m∈R,存在n∈[1,2],使得f(m)≥g(n),求实数b的取值范围.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若对一切x∈[
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
3 |
a |
b |
a+b |
mx2+nx+t |
-x+[x]-2 |
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