题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；
①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0；
②当x＞0时，f（x）=x²-2．
（I）求f（x）定义域上的解析式；
（II）解不等式：f（x）＜x．

答案

（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）
∵当x＞0时，f（x）=x²-2，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
则f(x)=

x2-2(x＞0) 2-x2(x＜0)

；（6分）
（II）∵当x＞0时，x²-2＜x，
化简得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集为0＜x＜2；
当x＜0时，2-x²＜x，
化简得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集为x＜-2，
综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）