题目

题型：0104 模拟题难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=，M，N分别是PD，PB的中点，
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离。

答案

解：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，
由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：，
，
∴，，
设平面的PBC的法向量为，
则有：，
令z=1，则，
∴，
又平面PCB，
∴MQ∥平面PCB。
（2）设平面的MCN的法向量为，
又，
则有：，
令z=1，则，
又为平面ABCD的法向量，
∴，
又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为。
（3）∵，
∴所求的距离。