题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）=-ax³1nx+3x³-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．
（1）求实数a的值；
（2）若对∀x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，求实数b的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b，
∴f′（x）=-a（3x²lnx+x²）+9x²，
∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b在x=1处取得极值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x²lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1），
∴f（x）_max=f（1）=3-4b．
∵对∀x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，
∴3-4b-4b²≤0，
解得b≤-

3

2

，或b≥

1

2

．
∴b的取值范围是（-∞，-

3

2

]∪[

1

2

，+∞）．