题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
2x-b |
2x+a |
(1)求a,b的值;
(2)利用定义判断函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意t∈[0,1],不等式f(2t2+kt)+f(k-t2)>0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
∴f(0)=0,即
1-b |
1+a |
又∵f(-1)=-f(1),即
2-1-1 |
2-1+a |
2-1 |
2+a |
经检验当a=1且b=1时,f(x)=
2x-1 |
2x+1 |
(2)由(1)得f(x)=
2x-1 |
2x+1 |
则f(x1)-f(x2)=
2x1-1 |
2x1+1 |
2x2-1 |
2x2+1 |
(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) |
(2x1+1)(2x2+1) |
=
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵x1<x2,可得2x1-2x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(3)根据(1)(2)知,函数f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上为增函数.
∴不等式f(2t2+kt)+f(k-t2)>0对任意t∈[0,1]恒成立,
即f(2t2+kt)>-f(k-t2)=f(t2-k),
∴2t2+kt>t2-k对任意t∈[0,1]都成立.
即t2+kt+k>0,变量分离得k>-
t2 |
t+1 |
设y=-
t2 |
t+1 |
(-t2)′(t+1)-(-t2)(t+1)′ |
(t+1)2 |
=
-2t(t+1)+t2 |
(t+1)2 |
-t2-2t |
(t+1)2 |
∴y=-
t2 |
t+1 |
综上得,k>0,
故实数k的取值范围是:k>0.
核心考点
试题【已知定义域为R的函数f(x)=2x-b2x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)利用定义判断函数y=f(x)的单调性;(3)若对任意t∈[0,1],不等式f(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若对任意x∈R有f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)在区间[0,1]上的单调性;
(3)若对任意的x1,x2∈[0,1]有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,求实数a的取值范围.
①偶函数的图象一定与y轴相交.
②奇函数的图象不一定过原点.
③偶函数若在(0,+∞)上是减函数,则在(-∞,0)上一定是增函数.
④有且只有一个函数既是奇函数又是偶函数.
其中正确结论的个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
2 |
3 |
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