设函数是定义在R上的奇函数，对任意实数有成立．（1）证明是周期函数，并指出其周期；（2）若，求的值；（3）若，且是偶函数，求实数的值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数

是定义在R上的奇函数，对任意实数

有

成立．
（1）证明

是周期函数，并指出其周期；
（2）若

，求

的值；
（3）若

，且

是偶函数，求实数

的值．

答案

解（1）由

，且

知

，
所

以

是周期函数，且

是其一个周期．
（2）因为

为定义在R上的奇函数，所以

，且

，又

是

的一个周期，所以

；
（3）因为

是偶函数，且可证明

是偶函数，所以

为偶函数，即

恒成立．
于是

恒成立，于是

恒成立

，
所以

为所求．

解析

略

核心考点

试题【设函数是定义在R上的奇函数，对任意实数有成立．（1）证明是周期函数，并指出其周期；（2）若，求的值；（3）若，且是偶函数，求实数的值．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f(x)是偶函数，x ÎR，若将f(x)的图象向右平移一个单位又得到一个奇函
数，又f(2)＝－1，则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2011)＝（）

A．－1003　

B．1003　　

C．1　　

D．－1

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知

是定义在R上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当

时，

，则

的值为_____．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设函数f(x) 是定义在R上的偶函数，且对任意的x ÎR恒有f(x＋1)＝－f(x)，已知当x Î[0，1]时，f(x)＝3^x.则
① 2是f(x)的周期；　　　　　　　　② 函数f(x)的最大值为1，最小值为0；
③ 函数f(x)在(2，3)上是增函数； ④ 直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴.
其中所有正确命题的序号是　　　　　.

题型：填空题难度：一般| 查看答案

（本小题满分10分）
已知函数