题目

题型：解答题难度：困难来源：江苏高考真题

已知函数（x∈R，p₁，p₂为常数），函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，。
（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求证：函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。

答案

解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）（对所有实数x）等价于f₁（x）≤f₂（x）（对所有实数x），这又等价于
即3^{|x-p₁|-|x -p₂|}≤2对所有实数x均成立 （*）
易知函数|x-p₁|-|x-p₂|（x∈R）的最大值为|p₂-p₁|
故（*）等价于
这就是所求的充分必要条件。（2）分两种情形讨论：
（i）当时，由（1）知f（x）=f₁（x）（对所有实数x∈[a，b]），
则由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知
再由f₁（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为
如图所示。（ii）当时，不妨设p₁＜p₂则
于是，当x≤p₁时，有
从而f（x）=f₁（x）
当x≥p₂时
从而
当p₁＜x＜p₂时，
由方程
解得f₁（x）与f₂（x）图象交点的横坐标为

显然
这表明x₀在p₁与p₂之间，由①易知
 
综上可知，在区间[a，b]上
如图所示
故由函数f₁（x）与f（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x₀-p₁）+（b-p₂）
由于f（a）=f（b），即得
故由①、②得

综合（i）、（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为。