题目

题型：解答题难度：困难来源：专项题

已知f（x）=lnx-ax²-bx。
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明：函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f"（x₀）＜0。

答案

解：（1）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增
∴对x∈（0，+∞）恒成立
即，对x∈（0，+∞）恒成立
∴只需
∵x＞0
∴
当且仅当时取“=”
∴
∴b的取值范围为。
（2）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴

∵x>0，
∴当0＜x＜1时，f"（x）>0
当x>1时，f"（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，
其值为f（1）=ln1-1²+1=0，
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函数f（x）只有一个零点。
（3）由已知得
两式相减得=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由及2x₀=x₁+x₂得




令，
∵
∴φ（t）在（0，1）上递减，
∴φ（t）>φ（1）=0，
∵x₁＜x₂，
∴f"（x₀）＜0。