题目

题型：解答题难度：困难来源：湖南省高考真题

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，a≠0。
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。

答案

解：（1），
则
因为函数h（x）存在单调递减区间，
所以＜0有解
又因为x>0时，则ax²+2x-1>0有x>0的解
①当a>0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1>0总有x>0的解；
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而ax²+2x-1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根，此时，-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）。
（2）设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
则点M、N的横坐标为
C₁在点M处的切线斜率为
C₂在点N处的切线斜率为
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂
即，则


所以
设
则①
令则
因为时，，
所以在）上单调递增
故
则
这与①矛盾，假设不成立
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。