题目

题型：解答题难度：困难来源：0103 期中题

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数；
(Ⅰ)证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-x+b最多只有一个交点；
(Ⅱ)若方程f（x）=log₄（a·2^x-a）有且只有一个解，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可得：f（x）=-f（-x），
∴，
∴，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，
∴，
由题意可知，只要证明函数在定义域R上为单调函数即可，
任取，
则，
，
∴，，
∴，
∴函数在R上为单调增函数，
∴对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点。
（Ⅱ）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一个实根，
令，
问题转化为方程：有且只有一个正根，
（1）若a=1，则，不合题意；
（2）若a≠1时，由或-3，当时，t=-2不合题意；
当a=-3时，；
（3）若a≠1时，△＞0，若方程一个正根与一个负根时，则；
综上：实数a的取值范围是。