题目

题型：解答题难度：一般来源：北京期末题

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
再令x=y=-1，
得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0；
（Ⅱ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
又函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），
所以函数f（x）为偶函数。
（Ⅲ）因为f（4）=1，
所以，
所以，
由，①
因为f（x）在D上是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故在（-∞，0）上是减函数，
当时，
不等式①
，
解得：；
当时，f（-64）=f（64）=3，
所以不等式①
，
在不等式中，
因为，
所以，
解得：；
所以x的取值范围是。