题目

题型：解答题难度：一般来源：0112 月考题

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0，
（1）求的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1。

答案

解：（1）令x=y=1，则可得f（1）=0；
再令x=2，y=，得f（1）=f（2）+f（），
故f（）=-1；
（2）设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）+f（）=f（x₂），
即f（x₂）-f（x₁）=f（），
∵＞1，
故f（）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上为增函数。
（3）由f（x²）＞f（8x-6）-1，
得f（x²）＞f（8x-6）+f（）=f[（8x-6）]，
故得x²＞4x-3且8x-6＞0，
解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}。